Пространство-время в общей теории относительности

Пусть теперь лифт начал двигаться вверх с ускорением g. За время, пока свет проходит расстояние между стенками, лифт ус­певает сместиться вверх, и луч света попадает уже не в точку В, а в точку В’. Но согласно принципу эквивалентности ускоренное движение равнозначно наличию поля тяготения. Значит, в гра­витационном поле траектория светового луча АВ’ оказывается искривленной. Линия АВ’ сохраняет свойство, которым в евкли­довой геометрии обладает прямая, — быть кратчайшим расстоя­нием между двумя точками — и называется прямейшей, или гео­дезической, линией.

Но гравитационные поля всегда имеются, а это значит, что любые линии в реальном пространстве, которые можно физиче­ски идентифицировать, не будут евклидовыми прямыми, и, сле­довательно, метрика пространства неевклидова (см. [Эйнштейн, 1955, с. 55—57].

Однако обнаружить неевклидовость в реальных эксперимен­тах столь просто нельзя, она доказывается совпадением следст­вий общей теории относительности с опытом. Мы постараемся дать некоторое представление об этом. Специальная теория от­носительности ввела понятие интервала как своеобразного рас­стояния между событиями в пространстве-времени. Элемент интервала задавался выражением ds2 = dx2 + dy2 +dz2 – (ct)2. За­данное таким образом расстояние как раз и выражает евклидов характер метрики (точнее, псевдоевклидов, так как четвертая ко­ордината (временная) входит со знаком «минус», но это сейчас несущественно). С математической точки зрения приведенное выражение представляет квадратичную форму от четырех пере­менных. Но это частный случай квадратичной формы. В общем

случае она должна включать 16 членов, представляющих все воз­можные произведения дифференциалов переменных. Введем упрощающие обозначения. Будем координаты записывать одной буквой с индексом внизу: х1 х2, х3, х4 (соответствуют прежним х, у, z, ct). Перед произведениями дифференциалов координат бу­дем ставить соответствующие коэффициенты: перед dх1 • dхх1 (т. е. dх12) поставим коэффициент g11, перед dx1 • dx2 – g12 и т. д.; всего 16 коэффициентов gik, где i и к пробегают значения от 1 до 4. Теперь квадратичная форма запишется следующим образом:

ds2 = g11dx12 + g12dx1dx2 + g13dx1dx + g14dx1dx4 + g21dx1dx1 + g22dx22 + … + g44dx42

С помощью знака суммирования  эту запись можно сокра­тить. По предложению Эйнштейна договорились опускать знак 2 и счи­тать, что по индексам, которые встречаются дважды, производит­ся суммирование. В нашей квадратичной форме индексы i и к встречаются дважды, это означает, что по ним производится суммирование. Поэтому окончательно можем записать:

ds2 = gikdxidxk.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8

Сентябрь 17, 2010 | |

COMMENTS

 

Comments are closed.