Проблема бесконечности

бесконечное лежит в одном ряду с конечным, только дальше; бесконечное начинается тогда, когда кончается конечное, а это очень-очень далеко. Вспомним упоминавшееся выше сравнение Дж. Харди: математик подобен путешественнику, который на­блюдает и описывает горную цепь. Ему просто описать то, что он видит ясно, но с самыми отдаленными вершинами могут возни­кать затруднения. А тогда, если продолжить сравнение Харди, насколько значительными будут затруднения при описании бесконечно удаленных вершин! Ведь это так далеко! В такой дали, ко­нечно же, наше умственное зрение плохо различает математиче­ские факты и может подвести нас, как это показали парадоксы теории множеств. Парадоксы начинают восприниматься как свидетельство того, что «в бесконечности» мы «плохо различа­ем» и можем ошибиться. Отсюда у математиков возникает чувст­во неуверенности. Рассуждения Витгенштейна преследуют тера­певтическую цель: внести успокоение. Для этого он стремится отделить математическое понятие бесконечности от ассоциаций с чем-то предельно большим или крайне удаленным: «Представ­ление о бесконечности как о чем-то огромном производит очень сильное впечатление на некоторых людей, и их интерес связан именно с такой ассоциацией… Без ассоциации с чем-то огром­ным никто и внимания не обратил бы на бесконечность» [Ibid., 1982, р. 194], ибо «бесконечность вообще не связана с размером» [Ibid., р. 189], она связана с оперированием определенными сим­волами по определенным правилам, и в самом этом оперирова­нии нет ничего бесконечного.

Витгенштейн заметил однажды, что математикой иногда за­нимаются из-за особого эстетического наслаждения, доставляе­мого ею. Причем иногда, в случае исчислений, не имеющих практического применения, эстетическое наслаждение вообще становится определяющим мотивом работы. Тогда, предостере­гает Витгенштейн, это может привести к серьезным недоразуме­ниям, потому что особое очарование имеют результаты, вы­зывающие своего рода головокружение от неожиданности и непостижимости полученных открытий. Лекарство от головокружения состоит в том, чтобы не принимать за открытие про­стую переинтерпретацию понятий [Ibid., 1976, р. 14 ff].

Замечание Витгенштейна об исчислениях, которые строятся в основном ради получения особых эстетических переживаний, «головокружений», и о таящейся в этом опасности раскрывает его отношение к теории множеств Г. Кантора и ее поразитель­ным результатам (например, различению бесконечностей раз­личной мощности и установлению того факта, что бесконечно­сти, подобно натуральным числам, можно упорядочить по вели­чине). Витгенштейн выступает не против теории Кантора как некоторого формализма (верный своему принципу, что филосо­фия не должна пересматривать существующую математику), а против той ее интерпретации, в которую верил Кантор.

Страницы: 1 2 3 4 5

Сентябрь 7, 2010 | |

COMMENTS

 

Comments are closed.