Проблема бесконечности

Проблема бесконечности является едва ли не самой захваты­вающей проблемой философии математики, причем не только для философов, но, как показал кризис в основаниях математи­ки, и для самих математиков. И для тех, и для других бесконеч­ность подчас становилась источником терзаний и мучений. Лекарство от этих мучений, по мнению Витгенштейна, заключа­ется в том, чтобы «подчеркивать различия там, где обычно заме­чают сходство». Следуя этому принципу, Витгенштейн, напри­мер, фиксирует внимание на различиях между периодическими и непериодическими бесконечными дробями. Конечно, сама математика стремится к единой трактовке всех чисел. Однако, полагает Витгенштейн, такая тенденция приводит к серьезным философским недоразумениям. Затруднения здесь связаны с оборотом «и так далее до бесконечности» и его грамматикой. Ко­гда мы продолжаем «до бесконечности» периодическую дробь, то, определив период, уже можем делать предсказания относи­тельно всего бесконечного продолжения. Например, мы можем сказать, что в десятичном разложении дроби 1/3 нигде не встре­тится двойка. Как нам дано знание того, что произойдет в беско­нечности? Ответ на подобный вопрос нашелся бы без труда, если бы не мешала аналогия с продолжением в бесконечность ирра­ционального числа. Из-за нее мы начинаем представлять себе дело так, как будто речь идет о бесконечности в одном и том же смысле. Тогда наша способность предсказывать, какие цифры будут появляться в бесконечном продолжении периодических дробей, начинает выступать как свидетельство того, что,беско­нечный процесс является завершенным, и божественный разум может обозреть его целиком в любом случае, а мы — только то­гда, когда имеем дело с периодическими дробями. При этом еще не выполненное разложение (например, разложение числа к до стомиллионного знака) рассматривается как уже существующее. Игнорирование специфики различных употреблений выраже­ния «и так далее до бесконечности» способно породить иллю­зию, что не вычисленные члены бесконечной последовательно­сти уже имеются и подразумеваются.

Самый лучший способ убедиться, что равенство а = b имеет разный смысл для случаев, когда а и Ь рациональны и когда они иррациональны, — это посмотреть на способы проверки равен­ства в обоих случаях.

Слово «бесконечность» имеет разные употребления, которые не надо путать или отождествлять. Например, сказать, что в бес­конечном разложении дроби 1/3 не встретится цифра 2, — зна­чит сказать, что ее нет в периоде: и это все содержание данного утверждения. Иррациональные числа являются процессами. Мы не можем сказать, какая цифра стоит на стомиллионном месте в десятичном разложении некоторого числа, не потому, что наш разум не может, подобно божественному, обозревать завершен­ную бесконечную совокупность, а потому, что это разложение пока еще не существует.

Страницы: 1 2 3 4 5

Сентябрь 7, 2010 | |

COMMENTS

 

Comments are closed.