Отношение Витгенштейна к дискуссиям об основаниях математики

Возьмем теоремы о существовании. Интуиционисты и конст­руктивисты утверждали, что они должны давать метод построе­ния того объекта, существование которого доказывается. Иначе теоремы существования не имеют смысла. Но почему, спраши­вает Витгенштейн, доказательства существования должны быть построениями? Защитники такого мнения убеждены, что знают, в чем состоит математическое существование, и поэтому могут судить, какие из доказательств являются доказательствами суще­ствования. Но «если бы была такая вещь, как существование… тогда можно было бы говорить, что каждое доказательство суще­ствования должно делать то-то и то-то… каждое доказательство существования отличается от другого, и каждая «теорема суще­ствования» имеет свой смысл, соответствующий тому, может или не может быть построено то, существование чего доказыва­ется» [Ibid., 1982, р. 117]. «В действительности существование — это то, что доказывается теоремами, называемыми теоремами существования» [Ibid., р. 374]. Отрицание неконструктивных до­казательств опирается на своего рода «натурализм» в понимании математических объектов: как будто можно непосредственно их узреть, а потом отобрать доказательства, которые доказывают именно существование, а не что-то другое.

Итак, Витгенштейн заявляет, что для понимания любого ма­тематического утверждения надо обратиться к его доказательст­ву. Однако результаты доказательств или вычислений формули­руются в языке как самостоятельные предложения. Этим созда­ется опасная языковая ловушка, способная порождать мифы относительно смысла таких предложений. Поэтому нельзя абсо­лютизировать формулировку теоремы и рассматривать ее как описание некоторого независимого факта. «Если ты захочешь знать, что означает выражение «непрерывность функции», по­смотри на доказательство ее непрерывности; оно покажет тебе, что было доказано» [Ibid., 1973, р. 369—370]. Витгенштейн по­стоянно подчеркивает, что в математике «средства и результат — это одно и то же. Как только я начинаю различать средства и результат, это уже не математика» [Ibid., 1976, р. 53].

Позиция, согласно которой математика есть наука, описы­вающая особые, независимо от этих описаний существующие объекты, и до сих пор остается привлекательной для многих мате­матиков и философов математики. Такая позиция называется ма­тематическим платонизмом, или математическим реализмом (ряд концепций и авторов названы в [Барабашев, 1991, с. 82—83]).

Например, В.Я. Перминов утверждает: «Мы можем говорить о реальности первичных математических объектов, во-первых, в том смысле, что они являются элементами онтологически детер­минированных понятийных систем. Арифметика и элементар­ная геометрия реальны, поскольку они порождены представле­ниями идеальной предметности в качестве их формального кор­релята. Евклидова геометрия, несомненно, реальна, ибо она имеет онтологический статус, которого не имеет никакая другая геометрия» [Перминов, 1999, с. 96].

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Сентябрь 1, 2010 | |

COMMENTS

 

Comments are closed.