Отношение Витгенштейна к дискуссиям об основаниях математики

Как нам понять, что такое число? О чем говорит арифмети­ка? Затруднение, полагает Витгенштейн, объясняется еще и тем, что математика окружена особым ореолом значительности. По­этому он предлагает начать разговор не о математике, а о шахма­тах. Попробуем вместо вопроса: «О чем арифметика?» — спро­сить: «О чем шахматы?» Что такое шахматная фигура? Очевидно, что не кусочек дерева или слоновой кости, а нечто большее, для чего фигурка выступает только знаком. В то же время мы пони­маем, что она не является знаком какого-то идеального объекта. Шахматная фигура, знаком которой выступает данная фигурка, определяется через ее роль в системе правил шахматной игры. Ни­какого самостоятельного значения она не имеет. То же можно сказать и о любом математическом понятии. Его значение — это его употребление в соответствующей математической теории.

Однако шахматы не имеют применений, а арифметика или геометрия имеют. Поэтому люди относятся к первым и вторым по-разному и не замечают, что проблема их значения решается в данном случае аналогично.

Математические объекты и факты конструируются доказа­тельствами, которые включают их в определенную теоретиче­скую систему и тем самым дают им жизнь. Витгенштейн подчер­кивает, что доказательство не уточняет старые понятия, но про­сто создает новые. Доказательство определяет также правила употребления математического утверждения. До доказательства математический объект или факт просто не существуют, подоб­но тому как шахматные фигуры не существовали до того, как по­явились правила шахматной игры. А математические теоремы до доказательства — это правила, о которых еще не известно, из ка­кой они игры, т. е. нечто, не обладающее смыслом. Смысл будет создан доказательством. Новые методы доказательства изменя­ют его.

Парадоксальным следствием витгенштейновских рассужде­ний оказывается вывод, что доказательство всегда доказывает не то, что собирались доказать. Результат — это осмысленное мате­матическое утверждение, а доказывалось предположение; оно является всего лишь цепочкой символов, вызывающих у матема­тиков определенные ассоциации. Математическое предположе­ние, которое еще надо доказать, есть просто некий замысел.

Для Витгенштейна оказывается очень важной также и та Мысль, что доказательства бывают разными. Более того, «каждое Новое доказательство расширяет в математике понятие доказа­тельства» [Ibid., 1982, р. 10].

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Сентябрь 1, 2010 | |

COMMENTS

 

Comments are closed.