Отношение Витгенштейна к дискуссиям об основаниях математики

Для пояснения этой мысли Витгенштейна можно привести простые и известные всем примеры. Математики прошлого бы­ли убеждены, что результата вычисления 3-5 не может быть. Сейчас мы делаем это вычисление и пишем – 2 Подобно этому, Математики прошлого считали, что у уравнения х2 + 1 = 0 нет корней, тогда как современная математика утверждает, что у не­го есть два «мнимых» корня. Выводы, таким образом, измени­лись. Но где же здесь столкновение с реальностью? Его нет. Есть Просто разные исчисления, имеющие разные применения.

Поэтому Витгенштейн и утверждает, что переход от одного Математического предложения к другому в ходе математического вывода опирается на принятые правила, которые в принципе могли бы быть другими. Здесь нет особой, «оккультной», как он выражается, связи между самими предложениями в цепочке вы­вода. Предложения следуют друг из друга не сами по себе, а по­тому, что у нас принята система, в которой есть правило, позво­ляющее осуществлять такой вывод.

Аналогия между математикой и опытными науками приво­дит и к вере в то, что математика описывает определенные объек­ты. В начале XX в. такая вера подверглась суровому испытанию из-за обнаружения парадоксов теории множеств. Ведь выясни­лось, что теория множеств допускала и множества с противоре­чивыми свойствами, тогда как противоречивые объекты с точки зрения математики не существуют.

Эта ситуация породила различные попытки определения то­го, что такое математическое существование. Велась активная полемика между формалистами, для которых оно было равно­сильно непротиворечивости, и интуиционистами, которые раз­решали считать математический объект существующим, только если имеется эффективный способ его построения. Интуиционисты отвергали все доказательства существования «от против­ного». Размышления Витгенштейна привели к выводу о непра­воте обеих сторон. Неправомерны сами попытки определить, что такое подлинное математическое существование.

Убеждение, что математическим понятиям  соответствуют особые абстрактные сущности, вытекает, по утверждению Вит­генштейна, из неправильного представления о значении. Счита­ется, что существительное должно обозначать какой-то опреде­ленный предмет или мысленный образ. В математических рассу­ждениях, в отличие от обыденных, числа ведут себя как существительные. Поэтому начинаются поиски предмета, кото­рый соответствует числу и является его значением, подобно тому как значением слова «яблоко» является реальное яблоко. По­скольку ничего подходящего найти не удается, делается вывод, что значениями слов, обозначающих числа, являются абстракт­ные предметы. Фреге и Рассел предлагали в качестве таковых множества эквивалентных множеств. Но, как объясняет Витген­штейн, данное определение не объясняет природы натуральных чисел, ибо основной способ установления эквивалентности ко­нечных множеств — это их пересчет.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Сентябрь 1, 2010 | |

COMMENTS

 

Comments are closed.