Отношение Витгенштейна к дискуссиям об основаниях математики

Математическое предложение не имеет определенного смыс­ла до того, как оно доказано. Пониманию данного обстоятель­ства, полагает Витгенштейн, мешает ложная аналогия: экспери­мент верифицирует истинность физической гипотезы, а доказа­тельство — теоремы. «Ни одно воззрение не сыграло такой роковой для философского понимания математики роли, как мнение, что доказательство и опыт являются двумя различными, но сравнимыми методами верификации» [Ibid., 1973, р. 361]. Ко­гда мы убеждаемся, что некоторое эмпирическое предложение истинно (или ложно), это не влияет на его смысл, а просто до­бавляет какую-то внеязыковую информацию. Совсем по-друго­му обстоит дело с математическими предложениями. Здесь дока­зательство влияет на словоупотребление. Мы можем осмыслен­но говорить о кентаврах и единорогах, даже зная, что их не существует. Но когда мы узнаем, что с помощью циркуля и ли­нейки угол нельзя разделить на три равные части, то фраза: «Я разделил этот угол на три равные части с помощью циркуля и линейки» — будет не ложной, а бессмысленной. Естественная реакция на нее: «Вы допустили ошибку или не понимаете смыс­ла данной задачи».

Следовательно, доказательства влияют на использование языка. Они создают новые языковые правила. Так, когда была доказана основная теорема алгебры (что уравнение степени n имеет в точности n корней), то фактически было создано новое исчисление. Данная теорема может показаться открытием не за­висящей от нас истины об уравнениях, но это иллюзия, ибо тео­рема зависит от решения математиков и введения символики для комплексных чисел. Однако, для того чтобы обнаружить это, на­до посмотреть на доказательство. Оно вписывает данное матема­тическое предложение в систему других предложений и благода­ря этому формирует его смысл.

Итак, Витгенштейн убеждает нас в том, что математические предложения — это не идеализированные описания эмпириче­ской реальности и не образы особой умопостигаемой реально­сти. Они суть грамматические нормы, управляющие нашими описаниями реальности.

С этим поначалу трудно согласиться. В самом деле, ведь ре­альность упорно подтверждает правила арифметики, алгебры, геометрии и прочих разделов математики. Например, часто ли приходится сталкиваться с ситуацией, когда мы сложим два яб­лока и еще два и обнаружим, что их у нас не четыре, а три или пять. Поэтому нам трудно согласиться считать математические законы чисто конвенциональными (ср. с позицией Пуанкаре).

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Сентябрь 1, 2010 | |

COMMENTS

 

Comments are closed.