Отношение Витгенштейна к дискуссиям об основаниях математики

Витгенштейн постоянно проводит мысль об отличии матема­тического вычисления или доказательства от проведения экспе­римента. Это отличие наглядно проявляется в реакции на не­ожиданный результат. Если мы проводим математическое вы­числение и его результат расходится с тем, что мы можем наблюдать, то мы делаем вывод, что некорректно не вычисле­ние, а наблюдение. Например, если мы складываем два яблока и еще два яблока и, пересчитав кучку, обнаруживаем, что у нас три яблока, мы не скажем: «Значит, 2 + 2 не всегда равно 4». Мы просто скажем: «Одно яблоко пропало, хотя мы не успели этого заметить». Данный пример показывает фундаментальную разни­цу между математическими и эмпирическими (эксперименталь­ными) предложениями. Она состоит не в формулировке, не в используемых понятиях, но в употреблении соответствующих предложений. Математические предложения так же не могут оп­ровергаться экспериментами, как и предложение: «В одном мет­ре сто сантиметров».

Раз математические предложения не могут опровергаться фактами реальности, значит, они ничего не говорят о ней. По­этому, утверждает Витгенштейн, математические предложения вообще не могут быть названы предложениями. Это — правила, чем и объясняется их неумолимость. Мы можем предсказать ре­зультаты вычисления (измерения, взвешивания и пр.), потому что, осуществляя эти процедуры, следуем тем правилам, на ко­торых основаны наши предсказания.

Будучи правилами, математические теоремы указывают на допустимые словосочетания. Когда входящий в них термин на­чинает использоваться за пределами математики, то они дают возможность определить, какие фразы с этим термином осмыс­ленны, а какие — нет. Геометрия не описывает кубы, сущест­вующие в реальности, и не является наукой, изучающей и опи­сывающей идеальные кубы. Она определяет смысл слова «куб» и дает правила использования этого слова. Например, если нам скажут: «У этого куба оказалось 13 ребер», то мы, не рассматри­вая его, можем заявить: «Это невозможно. Либо у него 12 ребер, либо это не куб».

Витгенштейновская трактовка математических предложений заставляет по-новому посмотреть на значение и функции дока­зательства. Если считать, что математические теоремы описыва­ют особую математическую реальность, то доказательство будет играть роль гаранта истинности подобного описания. Оно требу­ется, если утверждение теоремы не очевидно. А для чего служит доказательство, если мы признаем, что доказываемое предложе­ние не может быть ни истинным, ни ложным? Оно служит для установления смысла доказываемого предложения. Одновре­менно оно позволяет формулировать новые языковые правила.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Сентябрь 1, 2010 | |

COMMENTS

 

Comments are closed.