Отношение Витгенштейна к дискуссиям об основаниях математики

Пример Стейнера, конечно, обращает на себя внимание. Но все же его аргументация нам представляется недостаточно убе­дительной. В самом деле, если для к имеется и другое определе­ние, помимо исходного геометрического, этого еще недостаточ­но для утверждения, что к вообще существует независимо от да­ваемого математиками определения. К тому же еще вопрос: в каком смысле определение к в теории комплексных чисел неза­висимо от геометрического (не имело его в виду, не было ориен­тировано на согласование с традиционным определением?)

Анализируя аргументацию Гёделя, Стейнера и других защит­ников математического реализма, С.С. Демидов утверждает: «…за реалистической позицией скрываются очень сильные аргу­менты. С другой стороны, сколь бы основательными они ни вы­глядели, даже взятые в своей совокупности, доказательством они не являются. Впрочем, доказательств здесь и быть не может. К тому же в пользу антиреалистической конструктивной пози­ции (…предполагающей, что математические сущности и теории являются свободными конструкциями человеческого разума) также выдвигаются серьезнейшие аргументы. Причем выдвига­ли их такие крупнейшие математики, как, например, А.А. Мар­ков, имевшие большой опыт работы в классической математи­ке… Основной, на мой взгляд, аргумент здесь все тот же, к ко­торому мы прибегали для защиты позиции реализма: опыт работающих математиков, конструировавших свои результаты. Даже самые убежденные реалисты имеют в своем непосредст­венном творчестве опыт свободного математического конструи­рования. Особенно большой простор возможностям такого кон­струирования предоставляет современный аксиоматический ме­тод…» [Демидов, с. 150].

Демидов предлагает соединить обе интерпретации математи­ки. Тогда это будет выглядеть следующим образом: существует Математика как таковая — мир независимых математических сущностей. А люди-математики в конструкциях своего ума пы­таются все точнее воссоздать ее. «Математика с большой буквы является для нас некоторым возможно (или даже — скорее все­го) недостижимым идеалом. Если Математику мы открываем, то математику строим» [Там же, с. 152]. В результате получается картинка, полностью соответствующая наивно-реалистическим представлениям о том, как развиваются естественные науки.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Сентябрь 1, 2010 | |

COMMENTS

 

Comments are closed.