Отношение Витгенштейна к дискуссиям об основаниях математики

Позиция математического реализма, защищаемого Гёделем, применительно к канторовской континуум-гипотезе будет озна­чать уверенность в том, что в правильной теории множеств са­мой по себе является фактом истинность или неистинность кон­тинуум-гипотезы. Задача математика — «разглядеть» этот факт и затем выразить его, переформулировав принятые аксиомы или введя новые. Эта позиция продолжает обсуждаться в современ­ной литературе по философии математики. Так, П. Мэдди на основе подобной аналогии между математическими и физи­ческими науками формулирует позицию «теоретико-множест­венного реализма», или «платонизма» [Maddy, 1981]. «Централь­ным для этой концепции является убеждение, что математические Утверждения либо истинны, либо ложны, что их истинностные значения зависят от свойств независимо существующих матема­тических объектов (а не от структуры человеческого интеллекта, особенностей языка и пр.) и не зависят от нашей способности (или неспособности) определять, каковы именно эти истинност­ные значения» [Ibid., 1981, р. 495].

Еще один современный исследователь, Марк Стейнер [Steiner, 1983], показывая, что понятие существования может охватывать Разные типы существования (например, по-разному существуют кусок сыра и дырочки в нем), выделяет понятие реального существования и предлагает для него следующий критерий: реально существующим является то, чему можно давать разные незави­симые (т. е. принадлежащие разным концептуальным схемам или теориям) описания. Подобный критерий мотивируется тем, что «быть реальным — значит быть независимым… от нашей концептуальной схемы…» [Ibid.]. Далее Стейнер утверждает, что можно найти основания для утверждения о реальном существо­вании математических объектов, ибо, как он полагает, можно доказать, что их существование независимо от наших концепту­альных схем, если только будет показано, что для математиче­ских объектов могут быть даны различные независимые описа­ния. А признание их реального существования необходимо, по­лагает он, ибо как иначе можно было бы объяснить открытия в математике. В качестве яркого примера подлинного открытия он предлагает формулу: еiп +1 = 0. Такая простая и элегантная связь этих важнейших математических констант действительно не­ожиданна. Каждая из них вводилась в математике совершенно независимо от других. Возможность появления их в одной фор­муле обусловлена тем, что для к, е, / имеются независимые опи­сания. Например, к определяется в геометрии как отношение окружности круга к диаметру, а в теории комплексных чисел для него принимается другое описание: arg(-l)= п.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Сентябрь 1, 2010 | |

COMMENTS

 

Comments are closed.