Отношение Витгенштейна к дискуссиям об основаниях математики

Такого убеждения придерживается, например, известный математик, автор знаменитой теоремы о неполноте формализо­ванной арифметики, Курт Гёдель. Свое убеждение он сформули­ровал в статье «В чем состоит канторовская проблема континуу­ма?». Он отталкивался от обсуждения вопроса: воз­можны ли разные теории множеств (с канторовской гипотезой континуума или с ее отрицанием), подобно тому как недоказуе­мость пятого постулата Евклида открыла путь для построения разных геометрий? В самом деле, из доказательства независимо­сти континуум-гипотезы следует возможность построения аль­тернативных теорий множеств, а из этого обстоятельства весьма естественно было бы заключить, что теория множеств (и соот­ветственно множество как математический объект) является конструкцией математика, а не описанием особой реальности. На такой вывод наталкивает аналогия с геометрией. Ведь неевк­лидовы геометрии очевидно являлись конструкциями математи­ков. Позднее вопрос об истинности определенной геометриче­ской теории оказался перенесенным в плоскость физического рассмотрения. Физика, а не математика решает сейчас, какая из геометрий истинна в смысле соответствия реальности. Но объ­екты теории множеств, напоминает Гёдель, не принадлежат фи­зической реальности. Тем не менее, утверждает он, «несмотря на их удаленность от чувственного опыта, у математика есть что-то вроде восприятия также и для этих объектов, ибо аксиомы тео­рии множеств как бы сами навязываются нам в качестве истин­ных. Я не вижу, — говорит далее Гёдель, — никаких причин, по­чему этому виду восприятия, т. е. математической интуиции, мы должны доверять меньше, чем тем восприятиям, которые приво­дят нас к построению физических теорий и к ожиданию, что бу­дущий чувственный опыт согласуется с ними. Парадоксы теории множеств являются математически не более серьезной пробле­мой, чем обман чувств для физики» [Ibid., 1964, р. 271].

Весьма любопытно дальнейшее развитие Гёделем этой ана­логии. Математическая интуиция, говорит он, необязательно должна мыслиться как способность непосредственного знания о множествах. Ведь и знание о физических объектах не является непосредственным знанием о чувственных восприятиях. Абст­рактные элементы математики не являются чисто субъективны­ми, «скорее они тоже представляют какой-то элемент объектив­ной реальности, но, в отличие от ощущений, присутствие их в нашем знании объясняется каким-то особым видом отношения между ними и реальностью» [Ibid., р. 272]. В связи с этим Гёдель ссылается на И. Канта, утверждая, что существует глубокая ана­логия между понятием множества (в его понимании) и катего­риями чистого рассудка в смысле Канта; функцией и первого, и вторых является синтез многообразного.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Сентябрь 1, 2010 | |

COMMENTS

 

Comments are closed.