Отношение Витгенштейна к дискуссиям об основаниях математики

Для философии математика всегда была образцом необходимого и достоверного знания. Правда, подобное воззрение не со­всем соответствовало действительности, ибо в XVII—XVIII вв. бурное развитие математического анализа опережало возможно­сти достижения строгости и обоснованности. Но в течение всего

XIX в. шла работа по уточнению и обоснованию основных поло­жений математического анализа, по введению все большей и большей строгости в его основания. Кульминацией этой дея­тельности можно считать перевод фундаментальных понятий математического анализа, например «числовая прямая», на теоретико-множественный язык. Однако в конце XIX в. в теории множеств стали обнаруживаться парадоксы. Это привело к воз­никновению кризиса в основаниях математики. Возникли опасе­ния по поводу того, не лежат ли в основаниях математики еще не обнаруженные, скрытые противоречия.

Поскольку кризис в основаниях был связан с открытием па­радоксов теории множеств, то естественно было считать, что па­радоксы так или иначе связаны со свободным обращением с ак­туальной бесконечностью, допускавшимся в теории множеств.

Реакцией на кризис явилось формирование различных на­правлений в основаниях математики. Важнейшими из них были логицизм, формализм, интуиционизм и конструктивизм. Логи­цизм стремился свести всю математику к логике и тем самым по­ставить ее на твердое, незыблемое основание логических истин. Формализм выдвинул программу формализации всей математи­ки, чтобы затем, рассматривая математические теории как обо­зримые системы символов, в которых по строго определенным правилам из одних цепочек символов выводятся другие, дока­зать, что не может быть выведена такая цепочка символов, кото­рая при содержательной интерпретации означала бы противоре­чие. Подобное доказательство обеспечило бы доказательство не­противоречивости формализованных математических теорий и давало бы гарантию, что в них не может появиться парадоксов. Интуиционизм, а позднее конструктивизм выступали с програм­мой реформирования существующей математики путем изгна­ния из нее неконструктивных элементов, и в первую очередь ак­туальной бесконечности.

С тех пор и практически до настоящего времени философия математики оказалась сведенной к обсуждению этих программ в исследованиях по основаниям. Появилось утверждение, что на современном уровне развития науки философские проблемы математики — это проблемы оснований.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Сентябрь 1, 2010 | |

COMMENTS

 

Comments are closed.